课题: 课题:三角函数的简单应用 第7章6② 目标: 目标:使学生进一步掌握锐角三角函数 的简单应用, 的简单应用,比较熟练的应用解 直角三角形的知识解决有关的实 际问题, 际问题,培养学生把实际问题转 化为数学问题的能力 重点:解决与仰角、 重点:解决与仰角、俯角有关的问题 难点:把实际问题转化为数学问题 难点:把实际问题转化为数学问题.
仰角、 一,知识介绍??仰角、俯角 知识介绍 仰角
在进行测量时, 从下向上看, 视线与水平 在进行测量时 , 从下向上看 , 仰角; 线的夹角叫做仰角 线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做 俯角. 俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
二,例题分析
例1,在一座高为10米的建筑物顶C处测得旗 在一座高为10米的建筑物顶C 10米的建筑物顶 杆底部B的俯角为60 60度 顶部A的仰角为20 20度 杆底部B的俯角为60度,顶部A的仰角为20度 建筑物与旗杆的水平距离BD. 求:①建筑物与旗杆的水平距离BD. A 根据题意: 解:根据题意: CBD=∠ECB=60° ∠CBD=∠ECB=60° 20° 20° C E CD 60° 60° RtΔBDC中 在RtΔBDC中,∵ = tan∠CBD
CD 10 ∴BD = = tan∠CBD tan600 10 10 3 = = ≈
  5.774 3 3
BD
10
B D 答:建筑物与旗杆的水平距离BD约为
  5.8米。 建筑物与旗杆的水平距离BD约为
  5.8米 BD约为
  5.8
例1,在一座高为10米的建筑物顶C处测得旗杆 在一座高为10米的建筑物顶C 10米的建筑物顶 底部B的俯角为60 60度 顶部A的仰角为20 20度 底部B的俯角为60度,顶部A的仰角为20度。
求: ②计算旗杆的高度(精确到
  0.1米) 计算旗杆的高度(精确到
  0.1
  0.1米 A 根据题意: ②根据题意:EB=CD=10, 在RtΔAEC中,∵ EC = tan∠ACE RtΔAEC中 ≈
  5.774× ≈
  5.774×
  0.3640 ≈
  2.102 B ∴AB=AE+EB=
  2.102+10≈
  12.1 旗杆的高度约为
  12.1
  12.1米 答:旗杆的高度约为
  12.1米。
10 3 0 ∴AE=ECtan∠ACE = 3 tan20
10 3 又由① 又由①得EC=BD= , 3 AE
E
20° 20° C 60° 60° 10
D

  2,为了测量停留在空中的气球的高度, 为了测量停留在空中的气球的高度, 小明先站在地面上某点观测气球, 小明先站在地面上某点观测气球,测得仰角 27° 然后他向气球方向前进了50m 50m, 为27°,然后他向气球方向前进了50m,此 时观测气球,测得仰角为40 40° 时观测气球,测得仰角为40°.若小明的眼 睛离地面
  1.6m 睛离地面
  1.6m ,小明如何计算气球的高度 精确到
  0.01m
  0.01m) 呢(精确到
  0.01m) 解:设第一次观察时小明 C 眼睛所在位置为点A 眼睛所在位置为点A,气 球在点C 球在点C处, 第二次观察时小明眼 40° 27° 40° 睛所在位置为点B 睛所在位置为点B。 50 A D B CD⊥AB于点 于点D 作CD⊥AB于点D

  2,若小明的眼睛离地面
  1.6m ,小明如何计算气球的 若小明的眼睛离地面
  1.6m 高度呢(精确到
  0.01m
  0.01m) 高度呢(精确到
  0.01m) C
作CD⊥AB于点D 设CD=x m CD⊥AB于点D 于点 RtΔADC中 ∠A=27° 在RtΔADC中, ∠A=27°
x 27°
50
CD ∵ = tan∠A AD CD ∴AD = tan∠A
A
40° 40°
B
D
在RtΔBDC中, ∠CBD=40° RtΔBDC中 ∠CBD=40°
x x = 50 AD∵AD-BD=AB=50 ∴ tan27 tan40
CD ∴BD = tan∠CBD
CD ∵ = tan∠CBD BD
∴tan40 x tan27 x = 50tan40 tan27
∴tan40 x tan27 x = 50tan40 tan27 x 50tan40 tan27 ∴x = tan40 tan27 40° 27° 40° 50 A D B ∴h = x +
  1.6 50tan40 tan27 = +
  1.6 tan40 tan27

  2,若小明的眼睛离地面
  1.6m ,小明如何计算气球的 若小明的眼睛离地面
  1.6m 高度呢(精确到
  0.01m
  0.01m) 高度呢(精确到
  0.01m) C

  66.5
答:气球的高度约为
  66.5m。 气球的高度约为
  66.5m。
  66.5m

  3,假如你是船长,正 假如你是船长, 驾着轮船在大海上航行。 驾着轮船在大海上航行。 海中有一小岛A 海中有一小岛A,该岛四 10海里内有暗礁 海里内有暗礁。 周10海里内有暗礁。开 始你的轮船在A 始你的轮船在A岛南偏 55度的 处由西向东航行,在往东行驶20 度的B 西55度的B处由西向东航行,在往东行驶20 海里后到达该岛的南偏西25度的C 25度的 海里后到达该岛的南偏西25度的C处,若继 续向东行驶,途中会有触礁的危险吗? 续向东行驶,途中会有触礁的危险吗?
假如你是船长, 假如你是船长,正驾着 轮船在大海上航行。 轮船在大海上航行。海 中有一小岛A 中有一小岛A,该岛四 10海里内有暗礁 海里内有暗礁。 周10海里内有暗礁。开 始你的轮船在A 始你的轮船在A岛南偏 D B C 55度的 处由西向东航行,在往东行驶20 度的B 西55度的B处由西向东航行,在往东行驶20 海里后到达该岛的南偏西25度的C 25度的 海里后到达该岛的南偏西25度的C处,若继 续向东行驶,途中会有触礁的危险吗? 续向东行驶,途中会有触礁的危险吗? 想一想: 想一想: 你能画出航行的状况图吗? ①你能画出航行的状况图吗? AD~10 ~ 图中哪些数量是已知的? ②图中哪些数量是已知的? 如何判断船是否有触礁危险? ③如何判断船是否有触礁危险?
A
岛A四周10海里内有暗礁。 四周10海里内有暗礁。 10海里内有暗礁 轮船在A岛南偏西55 55度的 轮船在A岛南偏西55度的 向东行驶20 20海里到达 B处,向东行驶20海里到达 该岛南偏西25度的C 25度的 该岛南偏西25度的C处,继 续行驶有触礁的危险吗? 续行驶有触礁的危险吗?
A
解:设AD=x 在RtΔACD中 RtΔACD中
B
C
D

  20.
  79> ≈
  20.79 >10 CD=ADtan∠CAD=xtan25° ∴CD=ADtan∠CAD=xtan25° 答:轮船继续行 BD RtΔABD中 在RtΔABD中 ∵ AD = tan∠BAD 驶,途中没有触 BD=ADtan∠BAD=xtan55° 礁的危险。 ∴BD=ADtan∠BAD=xtan55° 礁的危险。 xtan55°=20+xtan25° ∵BD=BC+CD ∴xtan55°=20+xtan25°
CD ∵ = tan∠CAD AD
20 ∴x = tan550 tan250
∴HB = AB tan∠HAB
∵BD=AC=
  1.6m ∴HD=HB+BD≈
  15.6m
三,巩固提高 课本P58
  1,
  1,
  1,课本P58 RtΔABH中 解:在RtΔABH中,AB=20 35° ∠HAB=35° ∠HAB=35° A 35° HB 20 C ∵ = tan∠HAB AB
H B
  1.6 D
= 20 tan35 ≈
  14.00
答:树的高度约为
  15.6m。 树的高度约为
  15.6m。
  15.6m

  2,课本P56 课本P56
练习1 练习1
M
52° 52°
B E
10
解:设AM为飞机飞行路 AM为飞机飞行路 CN为海平面 为海平面, 线,CN为海平面,小 岛在点C 岛在点C处,第一次观 察时飞机在点A 察时飞机在点A,第二 次观察时飞机在点B 次观察时飞机在点B。 AD⊥CN于点 于点D 作AD⊥CN于点D, BE⊥CN于点 于点E BE⊥CN于点E
15°
A D
C
N
练习1
  2,课本P56 练习1 课本P56 M B A 10 15° AD⊥CD于点 于点D 作AD⊥CD于点D 52° 52° RtΔADC中 ∠ACD=15° 在RtΔADC中, ∠ACD=15° AD C N D ∵ = tan∠ACD E CD AD 10tan15 tan52 ∴CD = ∴AD = tan∠ACD tan52 tan15 RtΔBEC中 ∠BCE=52° 在RtΔBEC中, ∠BCE=52°
BE ∵ = tan∠BCE CE BE ∴CE = tan∠BCE
≈3
∵BE=AD,CD-CE=DE=AB=10 BE=AD,CDAD AD ∴ = 10 tan15 tan52
答:飞机的 高度约为 3km。 3km。

  3,某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 某商场准备改善原有楼梯的安全性能, 把倾角由40度减至35度,已知原楼梯长为 把倾角由40度减至35度 40度减至35 调整后的楼梯会加长多少? 4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占 多长一段地面?(结果精确到
  0.01 ?(结果精确到
  0.01m) 多长一段地面?(结果精确到
  0.01m)
? ?
4
35° 40° 35° 40°

  3,商场将原有楼梯的倾角由40度减至35度,原楼 商场将原有楼梯的倾角由40度减至35度 40度减至35 梯长为4 调整后的楼梯会加长多少? 梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占 多长一段地面?(结果精确到
  0.01 ?(结果精确到
  0.01m) 多长一段地面?(结果精确到
  0.01m) O
BO表示原有的楼梯 AO表示 表示原有的楼梯, 解 : 设 BO 表示原有的楼梯 ,AO 表示 改建后的楼梯,AC表示地面 表示地面。 改建后的楼梯,AC表示地面。 OC⊥AB于 且OC⊥AB于C
4 C
需要求什么? 需要求什么?
35° 40° 35° 40°
A
B
AOAO-BO=? AO、BO、AC、 求AO、BO、AC、BC AB=? 即AC-BC=? AC-
BO表示原有的楼梯 AO表示改建后的 表示原有的楼梯, 解 : 设 BO 表示原有的楼梯 , AO 表示改建后的 楼梯,AC表示地面 表示地面。 OC⊥AB于 楼梯,AC表示地面。且OC⊥AB于C BC O = cos ∠OBC RtΔBOC中 ∵ 在RtΔBOC中, BO ∴BC=BOcos∠OBC=4cos40° BC=BOcos∠OBC=4cos40° ≈
  3.064 OC 4 ∵ = sin∠OBC
35° 40° 35° 40° ∴OC=BOsin∠OBC B C =4sin40° =4sin40° ≈
  2.571 A OC AO∴AO-BO=
  0.48 = sin∠OAC ∴AB=AC-BC RtΔAOC中 在RtΔAOC中∵ AB=ACAO OC
  2.571 ∴AO = = ≈
  4.48(m) =
  3.672-
  3.064 sin∠OAC sin350 ≈
  0.61
BO
OC OC
  2.571 ∴AC = ∵ = tan∠OAC = ≈
  3.672 0 tan∠OAC tan35 AC

  4,如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定, AB被一钢缆CD固定 与地面成40度夹角, DB=5m.现再在 40度夹角 现再在C 与地面成40度夹角,且DB=5m.现再在C点上 处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED ED,那么钢缆ED的长 方2m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长 度为多少? 结果精确到
  0.01
  0.01m) 度为多少?(结果精确到
  0.01m) A RtΔBCD中 解:在RtΔBCD中, E BC 2 ∵ = tan∠CDB C DB =5tan40° ∴BC=DBtan∠CDB =5tan40° ≈5× ≈5×
  0.8391 ≈
  4.196 ∴EB=EC+BC=
  6.196 40° 40° RtΔBED中由勾股定理 中由勾股定理: 在RtΔBED中由勾股定理: D 5 B 答:钢缆ED的长度约为
  7.96米。 钢缆ED的长度约为
  7.96米 ED的长度约为
  7.96
E = E + DB D B
2 2=

  6.1962 + 52 ≈
  63.39 ≈
  7.96(m)
四,作业 课本》 习题7 《课本》P58 习题
  7.6 P62 复习题
2 ,3 ,4 ,
  10,
  10,
 

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