解答题训练( 解答题训练(
  4)
姓名

  1.已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + (c ? 3a ? 2b) x + d (a >
  0) 的图像如图所示。 (Ⅰ)求 c, d 的值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程为 3x + y ? 11 = 0 ,求函数 f (x) 的解析式; (Ⅲ)若 m = 5 ,方程 f ( x ) = 8a 有三个不同 的根,求实数 a 的取值范围. m

  2.已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直, 1=BC, B1BC=60?, BB ∠
AB=AC,M 是 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:AB1//平面 A1CM;
(Ⅱ)若 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角为 45?,求二面角 B-AC-B1 的大小.
A A
C M B B1
C1

  3.我国西南地区正遭受着百年不遇的旱灾.据气象预报,未来 48 小时受灾最严 重的甲地有望迎来一次弱降雨过程. 某军区命令 M 部队立即前往甲地准备实施人 工增雨作业,已知“人工增雨”高炮车Ⅰ号载有 3 枚“增雨炮弹”和 1 枚“增雨 火箭” ,通过炮击“积雨云”实施增雨,第一次击中积雨云只能使云层中的水分 子凝聚, 第二次击中同一积雨云才能成功增雨. 如果需要, 4 次射击才使用 第 “增 雨火箭” 当增雨成功或者增雨弹用完才停止射击. , 每次射击相互独立, 且用 “增 雨炮弹”击中积雨云的概率是 ,用“增雨火箭”击中积雨云的概率是 . (Ⅰ)求不使用“增雨火箭”就能成功增雨的概率; (Ⅱ)求要使用“增雨火箭”才能成功增雨的概率; (Ⅲ)求射击次数不小于 3 的概率.
2 3 8 9

  4.数列{an}中,a1=
  1,且 an+1 =Sn(n≥
  1,n∈N*) N ,数列{bn}是等差数列,其公差 d>
  0,b1=
  1,且 b
  3、b7+
  2、3b9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= anbn ,求{cn}的前 n 项和 Tn.
答案
  1.函数
  1.函数 f (x) 的导函数为 f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ? 3a ? 2b ( Ⅰ ) 如 图 可 知 : 函 数 f (x) 的 图 像 过 点 ( 0 , 3 ), 且 f ' (
  1) = 0 得
?d = 3 ? ?3a + 2b + c ? 3a ? 2b = 0 ?d = 3 …………( ?? …………(3 分) ?c = 0 f ' (
  2) = ?3 且 f (
  2) = 5
(Ⅱ)依题意
?12a + 4b ? 3a ? 2b = ?3 ? ?8a + 4b ? 3a ? 4b + 3 = 5
解得 a = 1, b = ?6 ……………………( ……………………(8 分)
所以 f ( x) = x 3 ? 6 x 2 + 9 x + 3 (Ⅲ)依题意
f ( x) = ax 3 + bx 2 ? (3a + 2b) x + 3 (a >
  0) f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx ? 3a ? 2b
…………( …………(9 分) 有三个不同的根, 若方程 f ( x) = 8m 有三个不同的根,当且仅当满足 f (
  5) < 8a < f (
  1) ② ……………………( ……………………(10 分) 1 ①②得 由①②得: ? 25a + 3 < 8a < 7 a + 3 ? < a < 3 11 1 有三个不同的根………… …………( 所以 当 < a < 3 时方程 f ( x) = 8a 有三个不同的根…………(12 分) 11
  2.解: (I)证明:如图,连结 AC
  1,交 A1C 于 N,连结 MN. ∵ M 是中点,N 是 AC1 的中点, ∴ MN//AB
  1. ∵ MN ? 平面 A1CM, ∴ AB1//平面 A1CM.………………4 分 (II)作 BC 的中点 O,连接 AO、B1O. ∵ AB=AC,
B1 A1
由 f ' (
  5) = 0 ? b = ?9a

C1
∴ AO⊥BC. ∵ 侧面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直, ∴ AO⊥面 BB1C1C, …………………………………………………………6 分 ∴ ∠AB1O 是 AB1 与平面 BB1C1C 所成的角,即∠AB1O=45?,从而 AO=B1O. 又∵ BB1=BC,∠B1BC=60?, ∴ △B1BC 是正三角形,所以 B1O⊥BC. 以 O 为原点, 分别以 OB、
  1、 为 x 轴、 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系. OB OA y z 设
3 a ,
  0,
  0),O(
  0,
  0,
  0), 3
OA=a,则 A(
  0,
  0,a),B1(
  0,a,
  0),C( ?
∴ AC = (?
3 a,
  0, ? a ) , AO = (
  0,
  0, ? a) , AB1 = (
  0, a, ? a ) . 3
∵ OB1⊥平面 ABC,故 OB1 是平面 ABC 的一个法向量,设为 n
  1, 则 n1= OB1 = (
  0,a,
  0) , 设平面 AB1C 的法向量为 n2=(x
  2,y
  2,z
  2),
? 3 x ? z =
  0, ?? 由 AC ? n2=0 且 AB1 ? n2=0 得 ? 3 2 2 ? y ? z =
  0, ? 2 2
令 y2=a,得 n2=( ? 3 a,a,a). ∴ cos< n
  1,n2>=
1 5 n1 ? n2 , = = | n1 | ? | n2 | 1 × 5 5 5 . 5
5 . 5
∴ <n
  1,n2>= arccos
即二面角 B-AC-B1 的大小是 arccos
……………………………12 分

  3.解: (I)设不使用“增雨火箭”就成功增雨的概率为 P
  1,则
1 P1= ? + C2 (1 ? ) ? ? =
2 2 3 3
2 3
2 2 3 3
20 .………………………………………………4 分 27
(II)要使用“增雨火箭”才能成功增雨,就必须是前 3 次射击中有且只有 一次击中积雨云,且第四次射击也要击中积雨云.设概率为 P
  2,则
P2 =
1? C3 ?1 ?
?
2 ? 2 8 16 ? ? ? = . 3 ? 3 9 81
2
………………………………………8 分

  3)设射击次数不小于 3 次的概率为 P
  3,则 (法一) P3 =
1? C2 ?1 ?
?
2? 2 2 2? 2 2? 15 5 1 ? 0 ? = . ? ? ? + C3 ? ?1 ? ? ? ? 1 + C3 ? ?1 ? ? ? 1 = 3? 3 3 27 9 ? 3? 3 ? 3?
?2? ?3?
2
2
3
2 (法二) P3 = 1 ? C2 ? ? ? =
5 .……………………………………12 分 9

  4.解: (I)由已知有 S n +1 ? S n = S n ,即 S n +1 = 2S n (n ∈ N * ) , ∴ {Sn}是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ Sn= 2 n ?1 . 由 an = ?
(n =
  1), ?S1 ?S n ? S n ?1 (n ≥
  2),
2
得 an = ?
?1 ?2
n?2
(n =
  1),
( n ≥
  2).
…………………4 分
∵ b
  3,b7+
  2,3b9 成等比数列, ∴ (b7+
  2) =b3?3b
  9,即 (1+6d+
  2) =(1+2d)?3(1+8d), 解得 d=1 或 d= ? (舍), ∴ bn = 1 + (n ?
  1) × 1 = n .……………………………………………7 分 (II)Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×2 +3×2 +…+n× 2 n ? 2 ,
0 1 2
1 2
设 T=2×20+3×21+…+n× 2 n ? 2 , ∴ 2T=2×21+3×22+…+n× 2 n ?1 , 相减得-T=2+21+22+…+ 2 n ? 2 -n? 2 n ?1
=1+ 1 × (1 ? 2 n ?1 ) ? n ? 2 n ?1 1? 2
= (1 ? n) ? 2 n ?1 ,
即 T=(n-
  1)? 2 n ?1 , ∴ Tn=1+(n-
  1)? 2 n ?1 (n∈N*). N ………………………………12 分
解答题训练( ) 解答题训练(
  2)

  1、在三棱柱 ABC ? A 1B1C1 中, AB = 、 的射影 O 在 AC 上。 (
  1)求证: BC ⊥ 平面 ACC1 A1 ; (
  2)求 AB 与侧面 AC1 所成的角; (
  3)若 O 恰好为 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积。
姓名
2a , BC = CA = AA1 = a , A1 在底面 ABC 上

  2、已知函数 f ( x) = 、 (
  1)求证:数列 ?
x ,数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a n +1 = f ( a n ) , n = 1,2,3…… x+3
? 1 1? + ? 为等比数列,并求数列 {a n } 的通项公式 a n ; 2? ?an
1 a n a n +1 ? 3 n , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 S n 。 2

  2)若数列 {bn } 满足 bn =

  3、在 Rt?ABC 中, ∠CAB = 90 , AB = 2 , AC = 、
o
2 , D 是线段 AB 垂直平分线上的 2
过点 C 的曲线 E 上任意一点 P 满足: PA | + | PB | 一点, 到 AB 的距离为 2 , D | 为常数。 (
  1)建立适当的坐标系,求出曲线 E 的方程; (
  2) D 点的直线 l 与曲线 E 相交于不同的两点 M , N , M 点在 D, N 之间, 过 且 若 DM = λ DN ,求实数 λ 的取值范围。

  4、已知函数 f ( x) = x 4 + ax3 + 2 x 2 + b ( x ∈ R ) 、 ,其中 a, b ∈ R . (Ⅰ)当 a = ?
10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值, 3
求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对于任意的 a ∈ [ ?2, 2] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 [ ?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.
答案
  1. 解: (
  1)∵ AB =
2a , BC = CA = a
o
A1
C1
∴ ?ABC 为直角三角形,且 ∠BCA = 90 ∴ BC ⊥ CA 又 A1 在底面 ABC 上的射影 O 在 AC 上 ∴ A1O ⊥ 面 ABC 又 BC ? 面 ABC ∴ A1O ⊥ BC 又 A1O I CA = O ∴ BC ⊥ 平面 ACC1 A1 (
  2)由(
  1)可知: BC ⊥ 平面 ACC1 A1 ∴ AB 在平面 AC1 的射影为 AC ∴ ∠BAC 为所求。
B1
A D
O
C
第 19 题图
B
o 又 ?ABC 为直角三角形, ∠BCA = 90 BC = CA = a o 所以 ∠BAC = 45

  3)由 A1O ⊥ 面 ABC 得 A1O ⊥ AC 又 O 恰好为 AC 的中点 CA = AA1 = a

A1O =
3 a 2
3 3 2 S四边形ACC1 A1 = AC ? A O = a ? 2 a = 2 a 1 ∴
又由(
  1) BC ⊥ 平面 ACC1 A1 则 BC ⊥ CC1 又 CC1 = AA1 = a ∴
S四边形BCC1B1 = BC ? CC1 = a 2
过 O 作 OD ⊥ AB 于 D ∵ A1O ⊥ 面 ABC 则 A1 D ⊥ AB (三垂线定理)
A1 D =
? 3 ? ? 2 ? 14 ? ? ? A1O + OD = ? ? 2 a? + ? 4 a? = 4 a ? ? ? ?
2 2
2
2

S四边形ABB1 A1 = AB ? A1 D = 2a ?
14 7 2 a= a 4 2
S = S四边形ACC1 A1 + S四边形BCC1B1 + S四边形ABB1 A1 = ∴ 侧面积 a n +1 = f (a n )
2+ 3+ 7 2 a 2
=

  2. 解: (
  1)
an an + 3 1 = a n +3 3 = 1+ an an
由题意知:
a n ≠ 0 两边同时取倒数得: a n +1
1 a n +1 2 =3 1 1 1 1 1 1 + + = 3( + ) a n +1 2 an 2 ? an 2 ∴ +
? 1 1 ? 3 + ? ? an 2 ? ∴数列 ? 为等比数列,且公比是
  3,首项为 2
1
1 1 3 n ?1 + = ?3 an 2 2 ∴

an =
2 3 ?1
n
2 ? 3n 1 1 1 2 2 = n ? n +1 n = bn = ? n ? ?3 (3 n ?
  1) ? (3 n +1 ?
  1) 3 ? 1 3 ? 1 2 3 ? 1 3 n +1 ? 1 (
  2)

S n = b1 + b2 + b3 + … + bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? + ? + ? + …… + n ? n +1 = ? n +1 2 8 8 26 26 80 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1 Sn = 1 1 ? n +1 2 3 ?1
=


  3. 解: (
  1)设 AB 的中点为 O,以点 O 为原点以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴 建立平面直角坐标系。则 A(?1,
  0) , B(1,
  0)
在 Rt?ABC 中, ∠CAB = 90 , AB = 2 ,
o
AC =
2 3 CB = 2 2 ,则 2
| PA | + | PB | =| CA | + | CB |= 2 2 >| AB |
x2 y2 + 2 = 1, (a > b >
  0) 2 b ∴动点 P 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆。则设椭圆方程: a
其中 a =
2, c =
  1, b 2 = a 2 ? c 2 = 1
x2 + y2 = 1 所以曲线 E 的方程为: 2
, (
  2)若过 D 点的直线 l 与 y 轴重合时,易得 | DM |= 1 | DN |= 3 ,此时
若过 D 点的直线 l 不与 y 轴重合时,设 l 的斜率为 k ,则 l : y = kx + 2
λ=
1 3
? y = kx + 2 ? 2 x + 2 y 2 = 2 消去 y 得: 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ?
(1 + 2k 2 ) x 2 + 8kx + 6 = 0 k2 > 3 6 = 2 且 x1 x2 1 + 2k 2
有 ? > 0 ,即
x1 + x2
=?
8k 1 + 2k 2
又 DM = λ DN ( M 点在 D, N 之间,则 0 < λ < 1 ) 即: ( x1 , y1 ?
  2) = λ ( x 2 , y 2 ?
  2)
2 ? x1 x 2 = λ x 2 ? x1 = λx2 ∴ ? x 1 + x 2 = ( λ +
  1) x 2 ∴
6 ? 2 ? 1 + 2 k 2 = λx 2 ?? 8k ?? = (λ +
  1) x 2 ? 1 + 2k 2
λ
消去 x 2 :
(λ +
  1) 2
=
3(1 + 2k 2 ) 1 10 16 ?λ+ = ? 2 λ 3 3(1 + 2k 2 ) 32k

k2 >
3 2

2<λ+
1
λ
<
10 1 ? <λ<3 3 3
1 < λ <1 又 0 < λ < 1 ,则 3
综上:
  4.
λ ∈ [ ,
  1)
1 3
′ 解: (Ⅰ) f ( x) = 4 x + 3ax + 4 x = x(4 x + 3ax +
  4) .
3 2 2

a=?
10 2 3 时, f ′( x ) = x(4 x ? 10 x +
  4) = 2 x (2 x ?
  1)( x ?
  2) .
x2 =
x =0 ′ 令 f ( x ) = 0 ,解得 1 ,
1 2 , x3 = 2 .
′ 当 x 变化时, f ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f(x)
( ?∞,
  0)
- 减
0 0 极小值
1 (0, ) 2
+ 增
1 2
0 极大值
1 ( ,
  2) 2
- 减
2 0 极小值
(2, +∞ )
+ 增
f ( x)
所以 f ( x ) 在
1 1 (0, ) ( ,
  2) (2, +∞ ) 内是增函数,在 ( ?∞,
  0) , 2 2 , 内是减函数.
2 2 ′ (Ⅱ) f ( x) = x (4 x + 3ax +
  4) ,显然 x = 0 不是方程 4 x + 3ax + 4 = 0 的根.
2 2 为使 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,必须 4 x + 3ax + 4 ≥ 0 成立,即有 ? = 9 a ? 64 ≤ 0 .
8 8 ? ≤a≤ 3 .这时, f (
  0) = b 是唯一极值. 解些不等式,得 3 8 8 [? , ] 因此满足条件的 a 的取值范围是 3 3 .
2 2 (Ⅲ)由条件 a ∈ [ ?2, 2] ,可知 ? = 9 a ? 64 < 0 ,从而 4 x + 3ax + 4 > 0 恒成立.
′ ′ 当 x < 0 时, f ( x ) < 0 ;当 x > 0 时, f ( x ) > 0 .
因此函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上的最大值是 f (
  1) 与 f ( ?
  1) 两者中的较大者.
? f (
  1) ≤ 1 ? f (?
  1) ≤ 1 , 为使对任意的 a ∈ [ ?2, 2] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 [ ?1,1] 上恒成立,当且仅当 ? ?b ≤ ?2 ? a ? b ≤ ?2 + a ,在 a ∈ [ ?2, 2] 上恒成立. 即?
所以 b ≤ ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 ( ?∞, ?4] .
 

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